השמדת עמלק

נשאלתי כך:

בפרק ט"ו בשמואל א', מצטווה שאול להשמיד את עמלק, ובתיאור המעשה נראה כי הוא ביצע את רוב הצו – פרט לחמלה על אגג ועל מיטב הצאן והבקר. לאחר מכן, שמואל עצמו ממית את אגג, ונראה שהושלם הציווי להשמיד את עמלק. לאור זאת, כיצד ניתן להבין את הכתוב בפרק כ"ז באותו ספר, שם מסופר כי דוד פושט על "הגִּשְׁרִי, הגִּזְרִי והעמלקי"? אם עמלק כבר הושמד, כיצד ייתכן שעדיין קיימים עמלקים בשטח? האם יש דרך ליישב את הסתירה לכאורה הזו?